医疗检测悖论与贝叶斯推演

患病人数

50 人

每万人 0.50%

阳性报告

149 人

其中假阳性 99

阳性预测值 PPV

33.2%

阳性里真患病的比例

阴性预测值 NPV

99.9%

阴性里真健康的比例

一万个人，真的数一遍

真阳性 · 有病且检出假阳性 · 没病却报警真阴性 · 没病且判对

P(患病 | 阳性) = 灵敏度 × 患病率灵敏度 × 患病率 + 误报率 × (1 − 患病率)

分子是「真有病又被检出」的人，分母是「所有拿到阳性报告」的人。很多人下意识把分母当成病人总数——这就是悖论的起点。

1 病人 = 10000 × 患病率 50 人 · 这一万人里真正有病的

2 真阳 = 病人 × 灵敏度 49.5 人 · 有病，也被查了出来

3 假阳 = (10000 − 病人) × 误报率 99.5 人 · 没病，却被报了警

4 后验 = 真阳 ÷ (真阳 + 假阳) 33.2% · 阳性里真患病的比例

这四行里没有一行需要你背贝叶斯定理——它就是上面那条分数线的四则运算。把鼠标放到第 2、3 行上，上面对应的色块会亮起来：公式、代码、图形说的是同一件事，只是三种语言。

当前信念分布检测之前的先验人群平均值中间八成的人落在这一带

平均

—

中位数

—

八成区间

—

较检测前

—

阳性次数 0

曲线是「四千个不同底子的人」在各自收到 k 次阳性之后的患病概率分布，竖线是人群加权平均。它和逐次贝叶斯算出的单一数字是同一个答案，只是顺带告诉了你：这个答案有多确定。

人群	人数	占比	含义

检测本身的准确率没有任何问题。问题在于黄段：它是拿 9,950 个健康人乘以 1.0% 的误报率堆出来的，而红段只有 50 个病人可抓。